Question

如圖,在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD為矩形,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,AB=,BC=1,PA=2,E為PD的中點(diǎn).

(1)求直線AC與PB所成角的余弦值;

(2)在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N,使NE⊥面PAC,并求出N點(diǎn)到AB和AP的距離.

Answer 1

解:(1)設(shè)AC∩BD=O,連結(jié)OE,則OE∥PB,

∴∠EOA即為AC與PB所成的角或其補(bǔ)角.

    在△AOE中,AO=1,OE=PB=,AE=PD=,

∴cos∠EOA==,

    即AC與PB所成角的余弦值為.

(2)在面ABCD內(nèi)過D作AC的垂線交AB于點(diǎn)F,則∠ADF=.

    連結(jié)PF,則在Rt△ADF中,DF==,AF=ADtan∠ADF=.

    設(shè)N為PF的中點(diǎn),連結(jié)NE,則NE∥DF.

∵DF⊥AC,DF⊥PA,

∴DF⊥面PAC.

    從而NE⊥面PAC.

∴N點(diǎn)到AB的距離=AP=1,N點(diǎn)到AP的距離=AF=.