Question

小明家中有兩種酒杯,一種酒杯的軸截面是等腰直角三角形,稱之為直角酒杯,另一種酒杯的軸截面近似一條拋物線,杯口寬4 cm,杯深為8 cm,稱之為拋物線酒杯.

(1)請選擇適當的坐標系,求出拋物線酒杯的方程.

(2)一次,小明在游戲中注意到一個現象,若將一些大小不等的玻璃球依次放入直角酒杯中,則任何玻璃球都不能觸及酒杯杯底.但若將這些玻璃球放入拋物線酒杯中,則有些小玻璃球能觸及酒杯杯底.小明想用所學數學知識研究一下,當玻璃球的半徑r為多大值時,玻璃球一定會觸及酒杯杯底.你能幫助小明解決這個問題嗎?

(3)在拋物線酒杯中,放入一根粗細均勻、長度為2 cm的細棒,假設細棒的端點與酒杯壁之間的摩擦可以忽略不計,那么當細棒最后達到平衡狀態時,細棒在酒杯中位置如何?

Answer 1

解：(1)如圖,以杯底中心為原點建立直角坐標系,設拋物線方程為x²=2px(p＞0).

將x=2,y=8代入拋物線方程,得p=,

∴拋物線方程為x²=y.

(2)設圓心在y軸正半軸上,且過原點的圓的方程為x²+(y-r)²=r²,將其代入拋物線方程并消去x,得y²+(-2r)y=0.

∴y₁=0,y₂=2r-.

若要使玻璃球在杯中能觸及杯底,則要y₂=2r-≤0,

即當0＜r≤時,玻璃球一定會觸及杯底.

(3)如圖,由于細棒的粗細均勻,所以細棒的平衡狀態就是細棒的中點M(即細棒的重心)處于最低位置狀態.因此問題就轉化為長度為2 cm的線段AB的兩個端點在拋物線x²=y上移動,當線段AB的中點M到x軸的距離最短時,求點M(x,y)的坐標.

由題意可知焦點F(0,),準線l:y=-,過A、B、M分別作l的垂線,垂足為A′、B′、D,連結AF、BF,由拋物線定義可知|MD|=(|AA′|+|BB′|)=(|AF|+|BF|),

由于|AB|=2大于通徑,因此在△AFB中,|AF|+|BF|≥|AB|,

∴y=|MD|-≥|AB|-=.

當且僅當線段AB過焦點F時,等號成立,

設AB的方程是y=kx+,代入拋物線方程得x²-kx-=0.

由|AB|=2,得k=±.

最后求得M的坐標為(±,).