Question

（本小題滿分12分）如圖4，正三棱柱中，，、分別是側棱、上的點，且使得折線的長最短．
（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的余弦值．

Answer 1

(Ⅰ) 略  (Ⅱ)

：（1）∵正三棱柱中，，
∴將側面展開后，得到一個由三個正方形拼接而成的矩形（如圖），
 
從而，折線的長最短，當且僅當、、、四點共線，
∴、分別是、上的三等分點，其中．……2分（注：直接正確指出點、的位置，不扣分）
連結，取中點，中點，連結、、．
由正三棱柱的性質，平面平面，
而，平面，
平面平面，∴平面．…4分
又由（1）知，，
∴四邊形是平行四邊形，從而．
∴平面．而平面，∴平面平面．8分
（2）（法一）由（2），同理可證，平面平面．………10分
而平面，平面平面，
∴即為在平面上的射影，
從而是直線與平面所成的角．……12分
在△中，，，
，由余弦定理，
，
即直線與平面所成角的余弦值為．…14分
（法二）取中點為原點，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，由（1）及正三棱柱的性質，可求得：
，，，．
從而，
，．…………………10分
設平面的一個法向量為，
則，所以，
即，解之，得，………………………12分
取，得，，∴從而

即直線與平面所成角的正弦值為，
∴直線與平面所成角的余弦值為．…………14分