Question

（示范高中）設數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+2．
（1）設b_n=a_n+1-2a_n，證明數列{b_n}是等比數列；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）求{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）先根據遞推關系求出a₂的值從而求出b₁的值，然后根據S_n+1=4a_n+2，則當n≥2時，有S_n=4a_n-1+2，將兩式作差變形可證得a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）即b_n=2b_n-1，證得結論；
（2）根據（1）先求出數列{b_n}的通項公式，然后等式兩邊同時除以2ⁿ⁺¹，可得數列{

an

2n

}是首項為

1

2

，公差為

3

4

的等差數列，求出數列{

an

2n

}的通項，即可求出數列{a_n}的通項公式；
（3）由（1）知，當n≥2時，S_n=4a_n-1+2，將a_n-1代入即可．

解答：（1）證明：由a₁=1，及S_n+1=4a_n+2，有a₁+a₂=4a₁+2故a₂=3a₁+2=5
所以 b₁=a₂-2a₁=3．
因為S_n+1=4a_n+2①
故當n≥2時，有S_n=4a_n-1+2②
①-②，得a_n+1=4a_n-4a_n-1
所以a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）
又因為b_n=a_n+1-2a_n所以b_n=2b_n-1
所以{b_n}是首項為3，公比為2的等比數列．…（4分）
（2）解：由（1）可得：b_n=a_n+1-2a_n=3•2^n-1，
所以

an+1

2n+1

-

an

2n

=

3

4

因此數列{

an

2n

}是首項為

1

2

，公差為

3

4

的等差數列．
所以

an

2n

=

1

2

+

3

4

(n-1)=

3

4

n-

1

4

故a_n=（3n-1）•2^n-2…（8分）
（3）解：由（1）知，當n≥2時，S_n=4a_n-1+2
故S_n=4a_n-1+2=4•（3n-4）•2^n-3+2=（3n-4）•2^n-1+2，n≥2
又S₁=a₁=1
故S_n=（3n-4）•2^n-1+2，n∈N^*…（12分）

點評：本題主要考查了等比數列判定，以及數列的求和，同時考查了構造新數列和轉化能力，屬于中檔題．