Question

已知x∈R，向量

OA

=(acos2x， 1)， 

OB

=(2， 

3

asin2x-a)，f(x)=

OA

•

OB

，a≠0．
（Ⅰ）求函數f（x）解析式，并求當a＞0時，f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）當x∈[0，

π

2

]時，f（x）的最大值為5，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據平面向量的數量積的運算法則求出f（x），然后利用兩角和的正弦函數公式的逆運算把f（x）化為一個角的正弦函數，根據正弦函數的單調區間（2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

），求出x的范圍即為函數的增區間；
（Ⅱ）根據x的范圍求出2x+

π

6

的范圍，討論a的正負利用2x+

π

6

的范圍及正弦函數的圖象可得f（x）的最大值，讓最大值等于5列出關于a的方程，求出a的值即可．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=2acos2x+

3

asin2x-a（2分）
=

3

asin2x+acos2x（4分）
=2asin(2x+

π

6

)．（6分）
當2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)時，
即kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

(k∈Z)時．
f（x）為增函數，即f（x）的增區間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)（9分）
（Ⅱ）f(x)=2asin(2x+

π

6

)，當x∈[0，

π

2

]時，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]．
若a＞0，當2x+

π

6

=

π

2

時，f（x）最大值為2a=5，則a=

5

2

．（11分）
若a＜0，當2x+

π

6

=

7π

6

時，f（x）的最大值為-a=5，則a=-5．（13分）

點評：考查學生會根據三角函數值域借助圖象求函數的最值，會進行平面向量的數量積的運算，掌握正弦函數的單調性．