Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是矩形，AB=a，AD=2，SA=1，且SA⊥底面ABCD，若邊BC上存在異于B，C的一點P，使得

PS

⊥

PD

．
（1）求a的最大值；
（2）當a取最大值時，求異面直線AP與SD所成角的大小；
（3）當a取最大值時，求平面SCD的一個單位法向量

n

及點P到平面SCD的距離．

Answer 1

分析：首先根據題意建立空間直角坐標系，再寫出各點的坐標．
（1）根據點的坐標寫出

PS

=(-a，-x，1)，

PD

=(-a，2-x，0)，再由

PS

⊥

PD

與二次函數的有關性質求出a的數值．
（2）分別求出兩條直線所在的向量，再利用向量的有關運算求出兩個向量的夾角，然后根據線線角與向量夾角的關系得到線線角．
（3）先求出平面的法向量，再求出其單位向量，然后求出平面的任意一個斜線所在的向量在法向量上的射影即可得到答案．

解答：解：建立如圖所示的空間直角坐標系，則各點坐標分別為：
A（0，，0，0），B（a，0，0），C（a，2，0），D（0，2，0），S（0，0，1），設P（a，x，0）．（0＜x＜2）
（1）∵

PS

=(-a，-x，1)，

PD

=(-a，2-x，0)
∴由

PS

⊥

PD

得：a²-x（2-x）=0
即：a²=x（2-x）（0＜x＜2）
∴當且僅當x=1時，a有最大值為1．此時P為BC中點；
（2）由（1）知：

AP

=(1，1，0)，

SD

=(0，2，-1)，
∴cos?

AP

，

SD

＞=

AP • SD

| AP |×| SD |

=

2

2 × 5

=

10

5

，
∴異面直線AP與SD所成角的大小為arccos

10

5

．
（3）設

n1

=(x，y，z)是平面SCD的一個法向量，∵

DC

=(1，0，0)，

SD

=(0，2，-1)，
∴由

n1 ⊥ DC n1 ⊥ SD

⇒

n1 • DC =0 n1 • SD =0

⇒

x=0 2y-z=0 取y=1

⇒

x=0 y=1 z=2

得

n1

=(0，1，2)，
∴平面SCD的一個單位法向量

n

=

n1

| n1 |

=

1

5

•(0，1，2)=(0，

5

5

，

2 5

5

)，
又

CP

=(0，-1，0)，在

n

方向上的投影為

CP • n

| n |

=

- 5 5

1

=-

5

5

，
∴點P到平面SCD的距離為

5

5

．

點評：本題考查線線垂直與線線角，以及點到平面的距離，而空間角解決的關鍵是做角，由圖形的結構及題設條件正確作出平面角來，是求角的關鍵，也可以根據幾何體的結構特征立空間直角坐標系利用向量的有關知識解決空間角與空間距離等問題等問題．