Question

已知動圓C過點A(－2，0)，且與圓M：(x－2)²＋y²＝64相內切．

(1)求動圓C的圓心的軌跡方程；

(2)設直線l：y＝kx＋m(其中k，m∈Z)與(1)所求軌跡交于不同兩點B，D，與雙曲線交于不同兩點E，F，問是否存在直線l，使得向量，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)圓M：(x－2)2＋x2＝64，圓心M的坐標為(2，0)，半徑R＝8． 　　∵|AM|＝4＜R，∴點A(－2，0)在圓M內， 　　設動圓C的半徑為r，圓心為C，依題意得r＝|CA|，且|CM|＝R－r， 　　即|CM＋|CA|＝8＞|AM|　　3分 　　∴圓心CD的軌跡是中心在原點，以A，M兩點為焦點，長軸長為8的橢圓， 　　設其方程為(a＞b＞0)，則a＝4，c＝2， 　　∴b2＝a2－c2＝12，∴所求動圓C的圓心的軌跡方程為　　5分 　　(2)由消去y化簡整理得：(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－48＝0， 　　設B(x1，y1)，D(x2，y2)，則x1＋x2＝． 　　△1＝(8km)2－4(3＋4k2)(4m2－48)＞0　①　　7分 　　由消去y化簡整理得：(3－k2)x2－2kmx－m2－12＝0， 　　設E(x3，y3)，F(x4，y4)，則x3＋x4＝． 　　△2＝(－2km)2＋4(3－4k2)(m2＋12)＞0　②　　9分 　　∵，∴(x4－x2)＋(x3－x1)＝0，即x1＋x2＝x3＋x4， 　　∴，∴2 km＝0或， 　　解得k＝0或m＝0　　11分 　　當k＝0時，由①、②得， 　　∵m∈Z，∴m的值為－3，－2，－1，0，1，2，3； 　　當m＝0時，由①、②得， 　　∵k∈Z，∴k＝－1，0，1． 　　∴滿足條件的直線共有9條．