Question

已知函數+bx（a＞0）且f′（1）=0，
（1）試用含a的式子表示b，并求函數f（x）的單調區間；
（2）已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（0＜x₁＜x₂）為函數f（x）圖象上不同兩點，G（x₀，y₀）為AB的中點，記AB兩點連線斜率為K，證明：f′（x₀）≠K

Answer 1

解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），
∵f′（x）=，
∴b=a-1，∴f′（x）=，
當f′（x）＞0時，得-，
∵x＞0，a＞0，解得0＜x＜1，
當f′（x）＜0時，得-，∵x＞0，a＞0，解得x＞1，
；∴當f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減；

（2）因A、B在的圖象上，
∴，
∴，
∵，
∴，
假設k=f′（x₀），則得：，
即，
即，令，
∵，
∴u（t）在（0，1）上是增函數，∴u（t）＜u（1）=0，
∴，所以假設k=f′（x₀）不成立，
故f′（x₀）≠k．
分析：（1）根據對數函數的定義求得函數的定義域，根據f（x）的解析式求出f（x）的導函數，利用f′（1）=0，代入導函數化簡即可得到a與b的關系式，用a表示出b；然后分別令導函數大于0和小于0得到關于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相應的x的范圍即分別為函數的遞增和遞減區間；
（2）因為A與B在函數圖象上，所以把A和B的坐標分別代入函數解析式中得到關于兩點縱坐標的兩個關系式，利用斜率的算法表示出斜率k，然后利用中點坐標公式根據A和B的橫坐標表示出中點G的橫坐標，并把求出的G橫坐標的值代入導函數，利用反證法證明，方法是：假設表示出的斜率k等于G的橫坐標在導函數的函數值，化簡后令t=，u（t）=lnt-，求出u（t）的導函數，判斷出導函數大于0得到u（t）為增函數，得到u（t）小于0與題意矛盾，所以假設錯誤，故f′（x₀）≠k．
點評：此題考查學生會利用導函數的正負求出函數的單調區間，靈活運用中點坐標公式化簡求值，掌握反證法進行命題證明的方法，是一道綜合題．