Question

已知函數f（x）=cos2x+asin（x-

π

2

）+1，且f（

π

4

）=1+

2

﹙Ⅰ﹚求a的值．
（Ⅱ）求函數f（x）在區間[0，π]上的最大和最小值．

Answer 1

分析：﹙Ⅰ﹚直接根據條件f（

π

4

）=1+

2

，建立方程關系，即可求a的值．
（Ⅱ）化簡函數f（x），然后根據三角函數的圖象和性質求函數的最值．

解答：解：﹙Ⅰ﹚∵函數f（x）=cos2x+asin（x-

π

2

）+1，且f（

π

4

）=1+

2

∴f（

π

4

）=cos（2×

π

4

）+asin（

π

4

-

π

2

）+1=cos

π

2

-asin

π

4

+1=1-

2

2

a=1+

2

，
∴a=-2．
（Ⅱ）∵f（x）=cos2x-2sin（x-

π

2

）+1=cos2x+2cosx+1=2cos²x+2cosx，
設t=cosx，
∵x∈[0，π]，
∴t∈[-1，1]，
則y=2t²+2t=2（t+

1

2

）²-

1

2

，
∴當t=-

1

2

，即t=cosx=-

1

2

，x=

2π

3

時，函數取得最小值-

1

2

．
當t=1，即t=cosx=1，即x=0時，函數取得最大值4．

點評：本題主要考查三角函數的化簡和求值，利用三角函數的圖象和性質是解決本題的關鍵，考查學生的運算能力．