Question

已知函數的定義域為，對于任意的，都有，且當時，，若.

（1）求證：為奇函數；

（2）求證:是上的減函數；

（3）求函數在區間上的值域.

 

Answer 1

【答案】

見解析。

【解析】本試題主要是考查了函數 奇偶性和單調性的綜合運用。

（1）運用賦值法得到關于f(x),f(-x)的關系式，進而得到證明。

（2）任取且,

則

又，，得到結論。

（3）

又為奇函數,

由(2)知是上的減函數,所以當時，取得最大值，最大值為，進而分析得知。

(1)證明：的定義域為,令,則， 令,則，即.

，故為奇函數.   4分

（2）證明：任取且,

則

又，，，

即

故是上的減函數.        8分

（3）解:

又為奇函數,

由(2)知是上的減函數,

所以當時，取得最大值，最大值為；

當時，取得最小值，最小值為. 11分

所以函數在區間上的值域為.      12分