Question

已知函數．
（1）若在上恒成立，求m取值范圍；
（2）證明：2 ln2 + 3 ln3+…+ n lnn（）．

Answer 1

解：令在上恒成立
   4分
(1) 當時，即時
在恒成立．在其上遞減．

原式成立．
當即0<m<1時
 
不能恒成立．
綜上： 9分
(2) 由 (1) 取m=1有lnx
令x=n



化簡證得原不等式成立．    12分

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。利用導數證明不等式的恒成立問題，以及研究函數的最值的綜合運用。
（1）因為若在上恒成立，求m取值范圍；那么關鍵是求解函數的最小值恒大于等于零即可。
（2）由 (1) 取m=1有lnx，利用放縮法得到，然后求和證明結論。
解：令在上恒成立
   4分
(1) 當時，即時
在恒成立．在其上遞減．

原式成立．
當即0<m<1時
 
不能恒成立．
綜上： 9分
(2) 由 (1) 取m=1有lnx
令x=n



化簡證得原不等式成立．    12分