Question

已知圓心在第二象限，半徑為2

2

的圓C與直線y=x相切于坐標原點O，過點D（-3，0）作直線l與圓C相交于A，B兩點，且|DA|=|DB|．
（1）求圓C的方程；
（2）求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）設出圓C的圓心坐標，因為半徑為2

2

，寫出圓C的方程，然后因為圓與直線相切得到直線OC與y=x的斜率乘積為-1得到a與b的關系式，兩者聯立求解，由圓心C在第二象限得即可求出圓心坐標得到圓的方程；
（2）由|DA|=|DB|知點D為弦AB的中點，由垂徑定理知CD⊥AB，所以斜率乘積為-1，利用CD的斜率得到AB的斜率，即可寫出直線l的方程．

解答：解：（1）設圓C的圓心為C（a，b），則圓C的方程為：（x-a）²+（y-b）²=8
∵直線y=x與圓C相切于坐標原點O，∴點O在圓C上，且直線OC垂直于直線y=x
于是有

a2+b2=8 b a =-1

，
解得

a=2 b=-2

或

a=-2 b=2

，
由圓心C在第二象限得a=-2，b=2，所以圓C的方程為（x+2）²+（y-2）²=8．
（2）由|DA|=|DB|知點D為弦AB的中點，由垂徑定理知CD⊥AB，
∵KCD=

2-0

-2+3

=2，
∴KAB=-

1

2

，
∵直線l過點D（-3，0），
∴直線l的方程為：y=-

1

2

(x+3)，
即：x+2y+3=0．

點評：考查學生靈活運用兩直線垂直時斜率乘積為-1的條件解決問題的能力，會根據條件寫出直線的方程及會根據條件寫出圓的標準方程．