Question

已知圓C與兩坐標軸都相切，圓心C到直線y=-x的距離等于．
（1）求圓C的方程；
（2）若圓心在第一象限，點P是圓C上的一個動點，求x²+y²的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圓C與兩坐標軸都相切，設出圓心C的坐標為（a，a），可得圓的半徑r=|a|，又圓心C到直線y=-x的距離等于，利用點到直線的距離公式列出關于a的方程，求出方程的解得到a的值，進而確定出圓C的方程；
（2）由圓心C在第一象限，由第一問的結論得出圓C的方程，確定出圓心及半徑，求出圓心C到原點的距離d，根據d+r為圓上點到原點距離的最大值，d-r為圓上的點到原點距離的最小值，根據求出的最值平方即可得到x²+y²的取值范圍．
解答：解：（1）根據題意設出圓心C坐標為（a，a），半徑r=|a|，
∴圓心C到直線y=-x的距離d=，又d=，
∴|2a|=2，即|a|=1，
解得：a=1或a=-1，
則圓C的方程為：（x-1）²+（y-1）²=1或（x+1）²+（y+1）²=1；
（2）∵圓心在第一象限，
∴圓C的方程為：（x-1）²+（y-1）²=1，
又P（x，y）為圓C上的動點，
∴x²+y²的表示圓上的點P到原點距離的平方，
∵圓心C到原點的距離d=，圓的半徑r=1，
∴圓上的點到原點距離的最大值為d+r=+1，最小值為d-r=-1，
則x²+y²的范圍是[（-1）²，（+1）²]，即[3-2，3+2]．
點評：此題考查了圓的標準方程，兩點間的距離公式，點到直線的距離公式，切線的性質，其中x²+y²的表示圓山的點P到原點距離的平方，進而根據題意得出圓上的點到原點距離的最大值為d+r及最小值為d-r是解本題的關鍵．