Question

設函數.

（1）若在其定義域內為單調遞增函數，求實數的取值范圍；

（2）設，且，若在上至少存在一點，使得成立，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：本題綜合考查函數與導數及運用導數求單調區間、最值等數學知識和方法，考查函數思想、綜合運用數學知識和方法分析問題解決問題的能力.第一問，屬于恒成立問題，通過導數將單調性問題轉化為求函數最值的問題，根據基本不等式求最值；第二問，屬于存在性問題，構造函數轉化為求函數最值問題，用導數判斷函數的單調性求最值.

試題解析：(1) ，

依題意，在內恒成立，

只需在內恒成立 ，

只需在內恒成立，

只需 ，

故在其定義域內為單調遞增函數時的取值范圍是  .(6分)

(2)依題意，在上有解 ，

設，，

，

因為，，所以在上恒成立，

所以在上是增函數，所以，依題意，要在上有解，只需，

所以，解得，

故所求的取值范圍是 .(12分)

考點：1.恒成立問題；2.函數最值；3.存在性問題；4.判斷函數的單調性.