Question

函數f（x）=ax^m（1-x）ⁿ在區間[0，1]上的圖象如圖所示，則m，n的值可能是（ ）
A．m=1，n=1
B．m=1，n=2
C．m=2，n=1
D．m=3，n=1

Answer 1

【答案】分析：由圖得，原函數的極大值點小于0.5．把答案代入驗證看哪個對應的極值點符合要求即可得出答案．
解答：解：由于本題是選擇題，可以用代入法來作，
由圖得，原函數的極大值點小于0.5．
當m=1，n=1時，f（x）=ax（1-x）=-a+．在x=處有最值，故A錯；
當m=1，n=2時，f（x）=ax^m（1-x）ⁿ=ax（1-x）²=a（x³-2x²+x），所以f'（x）=a（3x-1）（x-1），令f'（x）=0⇒x=，x=1，即函數在x=處有最值，故B對；
當m=2，n=1時，f（x）=ax^m（1-x）ⁿ=ax²（1-x）=a（x²-x³），有f'（x）=a（2x-3x²）=ax（2-3x），令f'（x）=0⇒x=0，x=，即函數在x=處有最值，故C錯；
當m=3，n=1時，f（x）=ax^m（1-x）ⁿ=ax³（1-x）=a（x³-x⁴），有f'（x）=ax²（3-4x），令f'（x）=0，⇒x=0，x=，即函數在x=處有最值，故D錯．
故選 B．
點評：本題主要考查函數的最值（極值）點與導函數之間的關系．在利用導函數來研究函數的極值時，分三步①求導函數，②求導函數為0的根，③判斷根左右兩側的符號，若左正右負，原函數取極大值；若左負右正，原函數取極小值．本本題考查利用極值求對應變量的值．可導函數的極值點一定是導數為0的點，但導數為0的點不一定是極值點．