【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
為直角梯形，
，
，
，平面
平面，
.
（1）求證：
；
（2）求二面角
的余弦值；
（3）在棱
上是否存在點
，使得
平面
？若存在，求
的值？若不存在，說明理由.
【答案】（1）見解析；（2）
；（3）不存在，理由見解析
【解析】
(1)利用面面垂直的性質得到線面垂直，再由線面垂直的性質得出
；
(2)建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可；
(3)由
，C，M三點共線，利用向量共線得出
，利用線面垂直的判定定理證明平面
，由于
，
不平行，則不存在棱
上的點
，使得
平面.
（1）在四棱錐
中
因為平面
平面
，平面
平面
又因為
，
平面
所以
平面
因為
平面
所以
（2）取
中點
，連接
因為
所以
因為平面平面，平面平面
因為
平面
所以
平面
所以
因為
所以
所以四邊形
是平行四邊形
所以
如圖建立空間直角坐標系
，則
.
設平面
的法向量為
，則
即
令
，則
.
所以
.
因為平面的法向量
，
所以
由圖可知，二面角
為銳二面角，
所以二面角的余弦值為.
（3）設是棱上一點，則存在
使得.
設
，則
所以
所以
所以
.
所以
.
因為
平面
所以
平面.
所以
是平面的一個法向量.
若平面，則
.
所以
因為方程組無解，
所以在棱上不存在點，使得平面.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對于函數
，如果存在實數
（
，且
不同時成立），使得
對
恒成立，則稱函數
為“
映像函數”.
（1）判斷函數
是否是“映像函數”，如果是，請求出相應的的值，若不是，請說明理由；
（2）已知函數
是定義在
上的“
映像函數”，且當
時，
.求函數（
）的反函數；
（3）在（2）的條件下，試構造一個數列
，使得當
時，
，并求時，函數的解析式，及
的值域．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】半圓
的直徑的兩端點為
,點
在半圓
及直徑
上運動,若將點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)得到點
,記點的軌跡為曲線
.
(1)求曲線的方程;
(2)若稱封閉曲線上任意兩點距離的最大值為該曲線的“直徑”,求曲線的“直徑”.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，△ABC為一個等腰三角形形狀的空地，腰CA的長為3(百米)，底AB的長為4(百米)．現決定在該空地內筑一條筆直的小路EF(寬度不計)，將該空地分成一個四邊形和一個三角形，設分成的四邊形和三角形的周長相等、面積分別為S1和S2.
(1) 若小路一端E為AC的中點，求此時小路的長度；
(2) 求
的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設數列
滿足
，
，
.
（1）求證：數列
為等比數列；
（2）對于大于
的正整數
、
（其中
），若
、
、
三個數經適當排序后能構成等差數列，求符合條件的數組
；
（3）若數列
滿足
，是否存在實數
，使得數列是單調遞增數列？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
，給定
個整點
,其中
.
（Ⅰ）當
時,從上面的
個整點中任取兩個不同的整點
，求
的所有可能值；
（Ⅱ）從上面個整點中任取
個不同的整點，
.
（i）證明：存在互不相同的四個整點
，滿足
,
；
（ii）證明：存在互不相同的四個整點
，滿足
,
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，沿河有A、B兩城鎮，它們相距
千米．以前，兩城鎮的污水直接排入河里，現為保護環境，污水需經處理才能排放．兩城鎮可以單獨建污水處理廠，或者聯合建污水處理廠（在兩城鎮之間或其中一城鎮建廠，用管道將污水從各城鎮向污水處理廠輸送）．依據經驗公式，建廠的費用為
（萬元），
表示污水流量；鋪設管道的費用（包括管道費）
（萬元），
表示輸送污水管道的長度（千米）．已知城鎮A和城鎮B的污水流量分別為
、
，
、
兩城鎮連接污水處理廠的管道總長為千米．假定：經管道輸送的污水流量不發生改變，污水經處理后直接排入河中．請解答下列問題（結果精確到
）：
（1）若在城鎮A和城鎮B單獨建廠，共需多少總費用？
（2）考慮聯合建廠可能節約總投資，設城鎮A到擬建廠的距離為千米，求聯合建廠的總費用
與的函數關系式，并求的取值范圍．
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