Question

【題目】如圖，四邊形是菱形， 平面， ， ， ，點為的中點．

（）求證： 平面．

（）求證：平面平面．

（）求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）要證線面平行，就要證線線平行，由線面平行的性質定理知平行線是過的平面與平面的交線，由已知取的中點，可證與平行且相等，從而有；（Ⅱ）要證面面垂直，一般先證線面垂直，由（Ⅰ）的證明過程及已知的垂直可知應證平面，而且易證（證平面）；（Ⅲ）由（Ⅱ）知 ．

試題解析：

（Ⅰ）取中點，連接

因為點為的中點，

所以且

又，且，

所以

所以四邊形為平行四邊形．

所以

又平面， 平面，

所以平面．

（Ⅱ）連接．

因為四邊形為菱形， ，所以為等邊三角形．

因為為中點，所以，

又因為平面， 平面，所以，

又， 平面，

所以平面．

又所以平面，

又平面，所以平面平面．

法二：因為四邊形為菱形， ，所以為等邊三角形．

因為為中點，所以，

又因為平面， 平面，

所以平面平面，

又平面， 平面，

所以平面．

又所以平面，

又平面，所以平面平面．

（Ⅲ）因為，

， 所以．