Question

（理） 如圖，四棱錐S-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=

6

．試用向量的方法求解下列問(wèn)題：
（1）棱SA的中點(diǎn)為M，求異面直線DM與SC所成角的大小；
（2）求側(cè)面ASD與側(cè)面BSC所成二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）分別求出兩條直線所在的向量，求出兩個(gè)向量的夾角，由線線角與向量的夾角關(guān)系求出異面直線DM與SB所成角的大小．
（2）分別求出兩個(gè)平面的法向量，利用空間向量的一個(gè)知識(shí)求出兩個(gè)向量的夾角，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平面的夾角．

解答：解：如圖所示，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），M（

1

2

，0，

1

2

），S（0，0，2）
（1）設(shè)異面直線DM與SB所成角為α，
∵

DM

=(

1

2

，0，

1

2

)，

SB

=(1，1，-2)
∴cosα=

DM • SB

| DM || SB |

=

4

5

∴異面直線DM與SB所成角為arccos

4

5

…（8分）
（2）設(shè)二面角的平面角為θ，由題意可知平面ASD的一個(gè)法向量為

DC

=(0，1，0)，設(shè)平面BSC的法向量為

n

=(x，y，1)，
由

SC • n =0 BC • n =0

得到

y-2=0 -x=0

解得x=0，y=2．所以

n

=(0，2，1)，
所以 cosθ=

DC • n

| DC || n |

=

2 5

5

，
∴面ASD與面BSC所成的二面角為arccos

2 5

5

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題以四棱錐為載體，考查線線角，考查面面角．解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是結(jié)合幾何體的結(jié)構(gòu)特征建立空間直角坐標(biāo)系，對(duì)于運(yùn)算能力有較強(qiáng)的要求．