Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c，且 f（2+x）=f（2-x），且f（x）＞0的解集為（-2，c）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式．
（Ⅱ）求f（x）在區間[m，m+1]的最大值記為h（m），并求h（m）的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用f（2+x）=f（2-x），推出函數的對稱軸，f（x）＞0的解集為（-2，c），判斷a 的符號，推出方程組，求出a、b、c，即可求解f（x）的解析式．
（Ⅱ）求出f（x）在區間[m，m+1]的最大值記為h（m）的表達式，然后畫出h（m）的圖象即可求出它的最大值．

解答：（本小題共12分）
解：（Ⅰ）∵f（2+x）=f（2-x），∴函數的對稱軸為x=2，
∵二次函數f（x）=ax²+bx+c，
∴-

b

2a

=2…①，
又f（x）＞0的解集為（-2，c）．
∴ax²+bx+c=0的兩個根是-2，c；并且a＜0．
即4a-2b+c=0…②，ac²+bc+c=0…③，
解①②③，解得a=-

1

2

，b=2，c=6．
∴函數的解析式為：f(x)=-

1

2

x2+2x+6．
（Ⅱ）f（x）在區間[m，m+1]的最大值記為h（m），
當m+1＜2即m＜1時，
f(x)=-

1

2

x2+2x+6，在[m，m+1]上函數是增函數，
函數的最大值為f（m+1）=-

1

2

m2+m+

15

2

．
當m＞2時，
f(x)=-

1

2

x2+2x+6，在[m，m+1]上函數是減函數，
函數的最大值為f(m)=-

1

2

m2+2m+6．
當m≤2≤m+1即1≤m≤2時，
f(x)=-

1

2

x2+2x+6，在[m，m+1]上函數的最大值為f（2）=8．
綜上：h(m)=

8，1≤m≤2 - 1 2 m2+2m+6，m＞2 - 1 2 m2+m+ 15 2 ，m＜1

，
函數h（m）的圖象為：
所以函數h（m）的最大值為8．

點評：本題考查二次函數閉區間上的最大值的求法，函數的解析式的求法，考查轉化思想以及計算能力．