Question

已知函數f（x）=x|x-a|+2x．
（1）若a=6時，求函數f（x）的單調減區間；
（2）若對任意x∈[1，2]時，函數f（x）的圖象恒在函數g（x）=2x+1圖象的下方，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先去絕對值，將函數解析式用分段函數表示，畫出函數圖象可得函數的單調減區間；
（2）由題意得對任意的實數x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立，即|x-a|＜

1

x

，-

1

x

＜x-a＜

1

x

，故只要x-

1

x

＜a＜x+

1

x

在x∈[1，2]上恒成立即可，在x∈[1，2]時，只要x-

1

x

的最大值小于a且x+

1

x

的最小值大于a即可，由此可知答案．

解答：解：（1）f（x）=x|x-6|+2x=

x2-4x  ，x＞6 8x-x2  ，x≤6

由圖可得f（x）的單調減區間為（4，6）…（6分）
（2）由題意得對任意的實數x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立，
即x|x-a|＜1，當x∈[1，2]恒成立，即|x-a|＜

1

x

，-

1

x

＜x-a＜

1

x

，
∴x-

1

x

＜a＜x+

1

x

，故只要x-

1

x

＜a且a＜x+

1

x

在x∈[1，2]上恒成立即可，
在x∈[1，2]時，只要x-

1

x

的最大值小于a且x+

1

x

的最小值大于a即可，…（10分）
①當x∈[1，2]時y=x-

1

x

，有y′=1+

1

x2

＞0，故y=x-

1

x

在[1，2]為增函數，
所以（x-

1

x

）_max=

3

2

；     …（12分）
②當x∈[1，2]時，y=x+

1

x

，有y′=1-

1

x2

≥0，故y=x+

1

x

在[1，2]為增函數，
所以（x+

1

x

）_min=2，…（14分）
綜上所述 

3

2

＜a＜2      …（16分）

點評：本題主要考查了函數的單調性，以及函數恒成立問題，同時考查了轉化的思想和運算求解的能力，屬于中檔題．