Question

如圖，在三棱錐A—BCD中，AB、BC、CD兩兩垂直．

(Ⅰ)由該棱錐所有相鄰的兩個面組成的二面角中，哪些是直二面角？(要求全部寫出，并說明理由)

(Ⅱ)若AD與平面BCD所成的角為，AD與平面ABC所成的角為，求二面角B—AD—C的余弦值；

(Ⅲ)若AD與平面BCD所成的角為α，AD與平面ABC所成的角為β，且AD＝6，則當α、β為何值時，三棱錐A—BCD的體積最大，最大值是多少？

Answer 1

答案：
解析：

本小題考查空間線面關系與空間角的概念，考查邏輯思維能力、空間想象能力及運算能力． 　　解：(I)∵AB⊥BC，AB⊥CD，且BC∩CD＝C， 　　∴AB⊥平面BCD．∵AB平面ABD， 　　∴平面ABD⊥平面BCD， 　　同理平面ABC⊥平面BCD． 　　∵CD⊥BC，CD⊥AB，BC∩AB＝B， 　　∴CD⊥平面ABC．∵CD平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC． 　　因此有三個直二面角：A—BD─C，A—BC─D，D─AC─B． 　　(Ⅱ)由AB⊥平面BCD可知，∠ADB即AD與平面BCD所成的角， 　　∴∠ADB＝．同理可得∠DAC＝． 　　如圖，過B作BE⊥AC，垂足為E，作BF⊥AD，垂足為F．連結EF． 　　由(Ⅰ)知，平面ACD⊥平面ABC，∴BE⊥平面ACD． 　　∵BF⊥AD，由三垂線定理的逆定理可知，EF⊥AD， 　　∴∠BFE是二面角B─AD─C的平面角． 　　∵EF＝AFtan＝AF，BF＝AFtan()＝AF， 　　∴cos∠BFE． 　　即二面角B─AD─C的余弦值為． 　　(Ⅲ)∵AD＝6，∠ADB＝α，∠DAC＝β． 　　∴AB＝6sinα，BD＝6cosα，CD＝6sinβ 　　V＝·CD)·AB 　　＝ 　　＝36sinβsinα 　　＝36 　　≤36 　　當且僅當，即α＝β＝arctan時，等號成立． 　　故當α＝β＝arctan時，三棱錐A—BCD的體積最大，最大值為4．