Question

已知函數(shù)f（x）=x²-4，設曲線y=f（x）在點（x_n，f（x_n））處的切線與X軸的交點為（x_n+1，0）（n∈N^*，x_n為正數(shù)）．
（1）試用x_n表示x_n+1；
（2）若x₁=4，記a_n=lg

xn+2

xn-2

，證明{a_n}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{x_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）先對函數(shù)f（x）=x²-4進行求導，進而可得到過曲線上點（x₀，f（x₀））的切線方程，然后令y=0得到關系式x_n²+4=2x_nx_n+1，整理即可得到答案．
（2）首先確定

xn+1+2

xn+1-2

=

(xn+2)2

(xn-2)2

，再利用條件，即可得到數(shù)列{a_n}是以lg3為首項，2為公比的等比數(shù)列，從而可求數(shù)列{x_n}的通項公式．

解答：解：（1）由題可得f′（x）=2x
所以過曲線上點（x₀，f（x₀））的切線方程為y-f（x_n）=f′（x_n）（x-x_n），
即y-（x_n-4）=2x_n（x-x_n）
令y=0，得-（x_n²-4）=2x_n（x_n+1-x_n），即x_n²+4=2x_nx_n+1
顯然x_n≠0，∴x_n+1=

xn

2

+

2

xn

（2）由x_n+1=

xn

2

+

2

xn

知x_n+1+2=

(xn+2)2

2xn

，x_n+1-2=

(xn-2)2

2xn

∴

xn+1+2

xn+1-2

=

(xn+2)2

(xn-2)2

∴a_n+1=lg

xn+1+2

xn+1-2

=2lg

xn+2

xn-2

，即a_n+1=2a_n，其中a₁=lg3≠0
∴數(shù)列{a_n}是以lg3為首項，2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=2^n-1lg3，即lg

xn+2

xn-2

=2^n-1lg3，
∴

xn+2

xn-2

=32n-1
∴xn=

2(32n-1+1)

32n-1-1

．

點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線在某點處的切線，以及導數(shù)的幾何意義，考查等比數(shù)列的判定，考查學生的計算能力，屬于中檔題．