Question

已知數列具有性質：①為正數；②對于任意的正整數，當為偶數時，；當為奇數時，

（1）若，求數列的通項公式；

（2）若成等差數列，求的值；

(3)設，數列的前項和為，求證：

Answer 1

由，可得，，…，，，，，…，

 即的前7項成等比數列，從第8起數列的項均為0．　（2分）

故數列的通項公式為．　     （4分）

（2）若時，，，

由成等差數列，可知即，解得，故；(舍去)

若時，，，

由成等差數列，可知，解得，故；(舍去)（ 3分 ）   

若時，，，

由成等差數列，可知，解得，故；

若時，，，

由成等差數列，可知，解得，故；(舍去)

∴的值為2．                              　 （6分）

（3）由（），可得，   

，，

若，則是奇數，從而，

可得當時，成立．             （3分）

又，，…

故當時，；當時，．            （5分）

故對于給定的，的最大值為

，

故．