Question

設各項均為正數的數列{a_n}的前n項和為S_n，已知2a₂=a₁+a₃，數列是公差為d的等差數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式（用n，d表示）；
（2）設c為實數，對滿足m+n=3k且m≠n的任意正整數m，n，k，不等式S_m+S_n＞cS_k都成立．求證：c的最大值為．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等差數列的通項公式，結合已知，列出關于a₁、d的方程，求出a₁，進而推出s_n，再利用a_n與s_n的關系求出a_n．
（2）利用（1）的結論，對S_m+S_n＞cS_k進行化簡，轉化為基本不等式問題求解；或求出c的最大值的范圍，利用夾逼法求出a的值．
解答：解：（1）由題意知：d＞0，=+（n-1）d=+（n-1）d，
∵2a₂=a₁+a₃，
∴3a₂=S₃，即3（S₂-S₁）=S₃，
∴，
化簡，得：，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²d²-（n-1）²d²=（2n-1）d²，適合n=1情形．
故所求a_n=（2n-1）d²
（2）（方法一）S_m+S_n＞cS_k⇒m²d²+n²d²＞c•k²d²⇒m²+n²＞c•k²，恒成立．
又m+n=3k且m≠n，，
故，即c的最大值為．
（方法二）由及，得d＞0，S_n=n²d²．
于是，對滿足題設的m，n，k，m≠n，有．
所以c的最大值．
另一方面，任取實數．設k為偶數，令，則m，n，k符合條件，且．
于是，只要9k²+4＜2ak²，即當時，．
所以滿足條件的，從而．
因此c的最大值為．
點評：本小題主要考查等差數列的通項、求和以及基本不等式等有關知識，考查探索、分析及論證的能力．