Question

已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，橢圓的短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，兩準線間的距離為4， （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）直線l過P（0，2）且與橢圓相交于A、B兩點，當△AOB面積取得最大值時，求直線l的方程。

Answer 1

解：設橢圓方程為，
（Ⅰ）由已知得，
∴所求橢圓方程為；
（Ⅱ）由題意知直線l的斜率存在，
設直線l的方程為y=kx+2，，
由，消去y得關于x的方程：，
由直線l與橢圓相交于A、B兩點，
∴，解得，
又由韋達定理得，
∴
，
原點O到直線l的距離，
，
對兩邊平方整理得：，（*）
∵S≠0，
整理得：，
又S＞0，
∴，從而的最大值為，
此時代入方程（*）得，
∴，
所以，所求直線方程為：。