Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為棱CC₁上的動點．
（1）求證：A₁E⊥BD；
（2）當E恰為棱CC₁的中點時，求證：平面A₁BD⊥EBD；
（3）在（2）的條件下，如果一只蒼蠅在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁內部任意飛，求它在三棱錐A₁-BDE內部飛的概率．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知A₁A⊥底面ABCD得BD⊥A₁A，證出BD⊥平面ACEA₁證A₁E⊥BD；
（2）利用正方體的棱長求出各邊長，利用勾股定理，證明線線垂直，再由面面垂直的判定定理證明；
（3）此題為幾何概型求概率，先求三棱錐A₁-BDE的體積，再求體積比即可．
解答：解：連接AC，設AC∩DB=O，連接A₁O，OE，
（1）∵A₁A⊥底面ABCD，
∴BD⊥A₁A，
又∵BD⊥AC，
∴BD⊥平面ACEA₁，∵A₁E?平面ACEA₁．
∴A₁E⊥BD；（4分）
（2）在等邊三角形A₁BD中，BD⊥A₁O，
而BD⊥A₁E，A₁O?平面A₁OE，A₁E?平面A₁OE，A₁O∩A₁E=A₁，
∴BD⊥平面A₁OE．于是BD⊥OE．
在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，設棱長為2a，
∵E為棱CC₁的中點，由平面幾何知識，
得，
∴A₁E²=A₁O²+EO²，∴∠A₁OE=90°．
∴A₁O⊥OE A₁O?平面A₁BD，∵BD?平面A₁BD，A₁O∩BD=O
∴OE⊥平面EBD，
∵OE?平面A₁BD，∴平面A₁BD⊥平面EBD；（9分）
（3）由（2）可知OE是三棱錐A₁-BDE的高，
∴，
，
由題意，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁代表事件全體，三棱錐A₁-BDE代表所求事件，
這是一個幾何概型，
∴蒼蠅在三棱錐A₁-BDE內部飛的概率為：=． （14分）
點評：本題主要考查了線線垂直、線面垂直和面面垂直的相互轉化，利用定義、定理和勾股定理證明線線垂直，第三小題是幾何概型，實質上是求幾何體的體積．