Question

橢圓的一個焦點F與拋物線y²=4x的焦點重合，且截拋物線的準線所得弦長為，傾斜角為45°的直線l過點F．
（Ⅰ）求該橢圓的方程；
（Ⅱ）設橢圓的另一個焦點為F₁，問拋物線y²=4x上是否存在一點M，使得M與F₁關于直線l對稱，若存在，求出點M的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）拋物線y²=4x的焦點為F（1，0），準線方程為x=﹣1，
∵a²﹣b²=1  ①
又橢圓截拋物線的準線x=﹣1所得弦長為，
∴得上交點為，
∴  ②
由①代入②得2b⁴﹣b²﹣1=0，
解得b²=1或（舍去），
從而a²=b²+1=2
∴該橢圓的方程為    
（Ⅱ）∵傾斜角為45°的直線l過點F，
∴直線l的方程為y=x﹣1，
由（Ⅰ）知橢圓的另一個焦點為F₁（﹣1，0），設M（x₀，y₀）與F₁關于直線l對稱，
則得 
  解得，
即M（1，﹣2）
又M（1，﹣2）滿足y²=4x，
故點M在拋物線上．  
所以拋物線y²=4x上存在一點M（1，﹣2），使得M與F₁關于直線l對稱．