Question

（本小題滿分10分）選修41：幾何證明選講

如圖，相交于A、B兩點(diǎn)，AB是的直徑，過A點(diǎn)作的切線交于點(diǎn)E，并與BO₁的延長線交于點(diǎn)P，PB分別與、交于C，D兩點(diǎn).

求證：（1）PA·PD=PE·PC；  （2）AD=AE.

 

Answer 1

【答案】

見解析。

【解析】（I）利用切割線定理可知和,從而可得

(II) 連結(jié)、，設(shè)與相交于點(diǎn)，由BC為直徑可得,

再利用,可得∥∴⊥, ,再利用是⊙的切線

得到,所以，問題到此解決.

（Ⅰ）分別是⊙的割線∴ ①            （2分）

又分別是⊙的切線和割線∴  ②       （4分）

由①，②得                                 （5分）

（Ⅱ）連結(jié)、，

設(shè)與相交于點(diǎn)

 ∵是⊙的直徑，∴ 

 ∴是⊙的切線.      （6分）

由（Ⅰ）知，∴∥∴⊥, （8分）

又∵是⊙的切線，∴

 又，∴

 ∴                                                    （10分）