Question

定義在R上的單調(diào)函數(shù)f（x）滿足f（3）＞0，且對任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0）的值，并指出函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性；
（2）求證：函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（3）若f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0對任意的x∈R恒成立，求實數(shù)k的范圍．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0可求得f（0）=0，由f（x）為R上的單調(diào)函數(shù)且f（3）＞0=f（0）即可判斷函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性；
（2）由（1）知f（0）=0，再令y=-x，可求得f（x）+f（-x）=0，從而可判斷函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，問題得證；
（3）依題意，可求得f（k•3^x）＜f（-3^x+9^x+2），再結(jié)合f（x）為R上的單調(diào)增函數(shù)，可求得k•3^x＜-3^x+9^x+2?k＜-1+3^x+

2

3x

恒成立，求得-1+3^x+

2

3x

的最小值即可．

解答：解：（1）令x=y=0，得 f（0）=f（0）+f（0），得f（0）=0…（1分）
又f（x）為R上的單調(diào)函數(shù)
且 f（3）＞0=f（0）…（3分）
所以f（x）為R上的單調(diào)增函數(shù)…（4分）
（2）由已知，函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，
令y=-x，得 f（0）=f（x）+f（-x）…（6分）
由于f（0）=0，得f（-x）=-f（x）
所以，函數(shù)f（x）為奇函數(shù)…（8分）
（3）由f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0，f（k•3^x）＜-f（3^x-9^x-2），f（k•3^x）＜f（-3^x+9^x+2），…（9分）
因為f（x）為R上的單調(diào)增函數(shù)，…（10分）
所以k•3^x＜-3^x+9^x+2，k＜-1+3^x+

2

3x

…（11分）
因上式對于?x∈R恒成立，
只需k小于-1+3^x+

2

3x

的最小值，
由于3^x+

2

3x

≥2

2

，…（12分）
所以-1+3^x+

2

3x

≥2

2

-1，
所以，k＜2

2

-1…（13分）
故，實數(shù)k的取值范圍為k＜2

2

-1…（14分）

點評：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查賦值法，突出考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)恒成立問題，屬于中檔題．