Question

已知函數f（x）對任意實數x均有f（x）=kf（x+2），其中常數k為負數，且f（x）在區間[0，2]上有表達式f（x）=x（x-2）。
（I）求f（-1），f（2.5）的值；
（Ⅱ）寫出f（x）在[-3，3]上的表達式，并討論函數f（x）在[ -3，3]上的單調性；
（Ⅲ）求出f（x）在[-3，3]上的最小值與最大值，并求出相應的自變量的取值。

Answer 1

解：（Ⅰ）f（-1）=kf（1）=-k
∵f（0.5）=kf（2.5）
；
（Ⅱ）∵對任意實數x，f（x）=kf（x+2）
∴f（x-2）=kf（x）
∴f（x）=
當-2≤x<0，0≤x+2<2，f（x）=kf（x+2）=kx（x+2）；
當-3≤x<-2，-1≤x+2<0，f（x）=kf（x+2）=k²（x+2）（x+4）；
當2≤x≤3時，0≤x-2≤1，；
故
∴k<0
∴f（x）在[-3，-1]與[1，3]上為增函數，在[-1，1] 上為減函數；
（Ⅲ）由函數f（x）在[-3，3]上的單調性可知f（x）在x=-3或x=1處取得最小值f（-3）=-k²或f（1）=-1，而在x=-1或x=3處取得最大值，f（-1）=-k或f（3）=-
故有①k<-1時，f（x）在x=-3處取得最小值f（-3）=-k²，在x=-1處取得最大值，f（-1）=-k；
②k=-1時，f（x）在x=-3與x=l處取得最小值f（-3）= f（1）=-1，在x=-1與x=3處取得最大值f（-1）=f（3）=1
③-1<k<0時，f（x）在x=1處取得最小值f（1）=-1，在x=3處取得最大值。