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已知數列{an}的首項a1=b(b≠0),它的前n項的和Sn=a1+a2+…+an(n≥1),并且S1,S2,Sn,…是一個等比數列,其公比為p(p≠0且|p|<1),
(1)證明:a2,a3,a3,…an,…(即{an}從第二項起)是一個等比數列;
(2)設Wn=a1S1+a2S2+a3S3+…+anSn(n≥1),求(用b,p表示).
【答案】分析:(1)由題前n項的和Sn是一個等比數列,利用an與Sn的關系,求出an進而可證.
(2)先判斷{anSn}是什么數列,再求和進而求極限得解.
解答:解:(1)證明:由已知條件得S1=a1=b.
Sn=S1pn-1=bpn-1(n≥1)
因為當n≥2時,Sn=a1+a2++an-1+an=Sn-1+an,所以
an=Sn-Sn-1=bpn-2(p-1)(n≥2)
從而
因此a2,a3,a3,an,是一個公比為p的等比數列
(2)當n≥2時,
且由已知條件可知p2<1,
因此數列a1S1,a2S2,a3S3,anSn是公比為p2<1的無窮等比數列,于是
從而

=
=
點評:(1)考查數列的證明,注意:從從第二項開始為等比.
(2)考查數列求和求極限,注意:1:數列{anSn}從第二項開始為等比數列,求和時不要忘記第一項. 2:記住無窮遞降等比數列前n項和極限公式即{an}等比-1<q<1且q≠0時Sn=
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知數列{an}的首項a1=
1
2
,前n項和Sn=n2an(n≥1).
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)設b1=0,bn=
Sn-1
Sn
(n≥2)
,Tn為數列{bn}的前n項和,求證:Tn
n2
n+1

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知數列{an}的首項為a1=2,前n項和為Sn,且對任意的n∈N*,當n≥2,時,an總是3Sn-4與2-
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Sn-1
的等差中項.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)設bn=(n+1)an,Tn是數列{bn}的前n項和,n∈N*,求Tn

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•江門一模)已知數列{an}的首項a1=1,若?n∈N*,an•an+1=-2,則an=
1,n是正奇數
-2,n是正偶數
1,n是正奇數
-2,n是正偶數

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知數列{an}的首項為a1=3,通項an與前n項和sn之間滿足2an=Sn•Sn-1(n≥2).
(1)求證:數列{
1Sn
}
是等差數列;
(2)求數列{an}的通項公式;
(3)求數列{an}中的最大項.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知數列{an}的首項a1=
2
3
,an+1=
2an
an+1
,n∈N+
(Ⅰ)設bn=
1
an
-1
證明:數列{bn}是等比數列;
(Ⅱ)數列{
n
bn
}的前n項和Sn

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