Question

已知圓C：x²+y²-x-8y+m=0與直線x+2y-6=0相交于P、Q兩點，定點R（1，1），若PR⊥QR，求m的值．

Answer 1

分析：設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯立方程組消y并整理可得關于x的二次方程，由韋達定理可得x₁+x₂和x₁x₂的值，再由點P，Q在直線x+2y-6=0上，可得y₁y₂，y₁+y₂，而由PR⊥QR可得

PR

•

QR

=0，代入數據可得關于m的方程，解之可得．

解答：解：設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯立方程組可得

x2+y2-x-8y+m=0 x+2y-6=0

，
消y并整理可得x2+

4

5

m-12=0，
由韋達定理可得x₁+x₂=0，x₁x₂=

4

5

m-12，
又點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在直線x+2y-6=0上，
∴y1=3-

x1

2

，y2=3-

x2

2

，即y1y2=9+

x1x2

4

，y1+y2=6
又∵R（1，1），∴

PR

=（1-x₁，1-y₁），

QR

=（1-x₂，1-y₂）
由PR⊥QR可得

PR

•

QR

=（x₁-1）（x₂-1）+（y₁-1）（y₂-1）=0
即x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂-（y₁+y₂）+1=0，
代入數據可得

1

4

(

4

5

m-12)+1=0，解得m=10．

點評：本題考查直線與圓的位置關系，涉及向量的數量積的應用，屬中檔題．