Question

在某校舉行的數學競賽中，全體參賽學生的競賽成績近似服從正態分布N（70，100）．已知成績在90分以上（含90分）的學生有12名．
（Ⅰ）試問此次參賽學生總數約為多少人？
（Ⅱ）若該校計劃獎勵競賽成績排在前50名的學生，試問設獎的分數線約為多少分？可共查閱的（部分）標準正態分布表Φ（x）=P（x＜x）

Answer 1

【答案】分析：（I）設出參賽人數的分數，根據分數符合正態分布，根據成績在90分以上（含90分）的學生有12名，列出大于90分的學生的概率，成績在90分以上（含90分）的學生人數約占全體參賽人數的2.28%，列出比例式，得到參賽的總人數．
（II）設出設獎的分數，根據獲獎的人數和總體的人數得到獲獎的概率，在標準正態分布表中查出0.9049對應的x，根據得≈1.31，得到x的值是83.1，即設獎的分數線約為83．
解答：解：（Ⅰ）設參賽學生的分數為ξ，因為ξ～N（70，100），
由條件知，P（ξ≥90）=1-P（ξ＜90）=1-φ（90）
=1-Φ=1-Φ（2）=1-0.9772=0.228．
這說明成績在90分以上（含90分）的學生人數約占全體參賽人數的2.28%，
∴參賽總人數約為≈526（人）．
（Ⅱ）假定設獎的分數線為x分，則
P（ξ≥x）=1-P（ξ＜x）=1-φ（90）=1-Φ==0.0951，
即Φ=0.9049，查表得≈1.31，
解得x=83.1．
故設獎的分數線約為83．
點評：本題考查正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查標準正態分布表的應用，是一個實際應用問題，這種情景經常出現在我們的生活中．