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如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中AA1＝AB．點E、M分別為A1B1、C1C的中點，過點A1，B、M的平面交C1D1于N

(1)求證EM∥平面A1B1C1D1．

(2)求二面角B－A1N－B1的正切值

(3)設截面A1BMN把該正四棱柱截成的兩個幾何體的體積為V1，V2(V1＜V2)，求V1∶V2的值．

答案：
解析：

　　(1)易證NMA1E

　　∴四邊形A1EMN為．

　　∴ME∥A1N

　　∴ME∥平面A1B1C1D1．

　　(2)連B1N，易知B1N⊥A1N，B1N為BN在上底面射影．

　　∴BN⊥A1N，則∠BNB1為所求，易知tanBNB1＝

　　(3)延長A1N，B1C，BM，則三者交于一點P，且易知B1C1＝C1P．

　　∵平面MNC1∥平面BA1B1

　　∴幾何體MNC1－BA1B1為棱臺．＝()3＝，Vp－A1B1B＝×·2a·a·2a＝a3

　　∴VNC1M－A1B1B＝×a3＝a3

　　∴V1＝a3，V正面體＝2a3，V2＝(2－)a3＝a3，V1∶V2＝7∶17


練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知AA1=4，AB=2，E是棱CC1上的一個動點．
（Ⅰ）求證：BE∥平面AA1D1D；
（Ⅱ）當CE=1時，求二面角B-ED-C的大小；
（Ⅲ）當CE等于何值時，A1C⊥平面BDE．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在正四棱柱ABCD-A′B′C′D′中（底面是正方形的直棱柱），側棱AA′=
3
，AB=
2
，則二面角A′-BD-A的大小為（　　）
A、30°B、45°
C、60°D、90°

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•青島一模）如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，AA1=
2
a，E為CC1的中點，AC∩BD=O．
（Ⅰ） 證明：OE∥平面ABC1；
（Ⅱ）證明：A1C⊥平面BDE．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=A（x0，y0）AB=2，點E、M分別為A1B、C1C的中點．
（Ⅰ）求證：EM∥平面A1B1C1D1；
（Ⅱ）求幾何體B-CME的體積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2009•宜昌模擬）如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1 中，AB=BC=1，AA1=2．過頂點D1在空間作直線l，使l與直線AC和BC1所成的角都等于60°，這樣的直線l最多可作（　　）

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