Question

已知ABCD是矩形，AD=4，AB=2，E、F分別是AB、BC 的中點，PA丄面ABCD．
（1）求證：PF丄DF；
（2）若PD與面ABCD所成角為300在PA上找一點 G，使EG∥面PFD，并求出AG的長．

Answer 1

解：（1）證明：連接AF，
∵在矩形ABCD中，AD=4，AB=2，F是線段BC的中點，
∴FC=CD，∴△FCD是等腰直角三角形，
∴∠DFC=45°，同理可得∠AFB=45°，
∴AF⊥FD．
又∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥FD，∵AF∩PA=A
∴FD⊥平面PAF，∴PF⊥FD．（6分）
（2）在AP上存在點G，
且AG=AP，使得EG∥平面PFD，
證明：取AD中點I，取AI中點H，連接BI，EH，EG，GH，
∵DI∥BF，DI=BF，∴四邊形BFDI是平行四邊形，
∴BI∥FD
又∵E、H分別是AB、AI的中點，
∴EH∥BI，∴EH∥FD
而EH?平面PFD，∴EH∥平面PFD
∵==，
∴GH∥PD
而GH?平面PFD，
∴HG∥平面PFD，又∵EH∩GH=H
∴平面EHG∥平面PFD
∴EG∥平面PFD，從而G為所求．
由PD與面ABCD所成角為30°，∴∠PDA=30°，
在直角三角PAD中，∴AP==，
∴AG==．
分析：（1）證明：連接AF，要證PF⊥FD，只要證FD⊥平面PAF，只要證PA⊥FD，AF⊥FD即可．
（2）取AD中點I，取AI中點H，連接BI，EH，EG，GH，易知四邊形BFDI是平行四邊形，所以BI∥FD，再由E、H分別是AB、AI的中點，得到EH∥BI，由公理4可得EH∥FD，所以EH∥平面PFD，由 ==，所以GH∥PD，有HG∥平面PFD，轉化為平面EHG∥平面PFD，得到EG∥平面PFD．
點評：本題主要考查線線，線面，面面平行，垂直關系的轉化與應用，屬中檔題．