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已知向量
a
=(cosx，2sinx)，
b
=(2cosx，
3
cosx)，f(x)=
a
•
b
，
（1）求函數f（x）的最小正周期、單調遞增區間；
（2）將y=f（x）按向量
m
平移后得到y=2sin2x的圖象，求向量
m
．
分析：（1）向量
a
=(cosx，2sinx)，
b
=(2cosx，
3
cosx)，代入f(x)=
a
•
b
，利用二倍角公式兩角和的正弦函數化簡為一個角的一個三角函數的形式，求出它的周期，利用正弦函數的單調增區間求出函數的單調增區間即可．
（2）設出向量
m
=(h，k)，利用平移公式，化簡函數，通過y=2sin（2x+2h）-k與f(x)=2sin(2x+
π
6
)+1為同一函數，求出
m
即可．
解答：解：（1）f(x)=
a
•
b
=2cos2x+
3
sin2x=1+cos2x+
3
sin2x=2sin(2x+
π
6
)+1（3分）
函數f（x）的最小正周期T=π．（4分）
又2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
，
解得kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6
，（k∈Z）..（5分）
所以函數的遞增區間是：[kπ-
π
3
，kπ+
π
6
]，（k∈Z）（6分）
（2）設
m
=(h，k)
由平移公式
x/=x+h
y/=y+k
代入y=sin2x得：y+k=2sin[2（x+h）]（8分）
整理得y=2sin（2x+2h）-k與f(x)=2sin(2x+
π
6
)+1為同一函數，
故h=
π
12
+nπ(n∈Z)，k=-1，所以
m
=(
π
12
+nπ，-1)(n∈Z)（12分）
點評：本題是基礎題，考查向量的數量積，三角函數的周期以及單調增區間的求法，三角函數的圖象的平移，是常考題型．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）設
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函數f(x)=
a
•
b
+λ（λ為常數）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求函數y=f（x）的圖象的對稱軸；
（Ⅱ）若函數y=f（x）的圖象經過點(
π
4
，0)，求函數y=f（x）在區間[0，
5π
12
]上的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函數f(x)=2
a
•
b
-1的圖象相鄰對稱軸間距離為
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求證：
a
⊥
b
；
（2）設f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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