Question

設函數(shù)f(x)=

mx

1+|x|

(x∈R)，區(qū)間M=[-1，1]，集合N={y|y=f（x），x∈M}，則使M=N成立的實數(shù)m的個數(shù)為（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．無數(shù)

Answer 1

分析：先判斷函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，題意可得，當-1≤x≤1時，函數(shù)的值域為[-1，1]．分m＞0和m＜0 兩種情況，分別利用函數(shù)的單調(diào)性求得m的值，綜合可得結(jié)論．

解答：解：由函數(shù)f(x)=

mx

1+|x|

(x∈R) 可得f（-x）=

m(-x)

1+|-x|

=-

mx

1+|x|

=-f（x），故函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
題意可得，當-1≤x≤1時，函數(shù)的值域為[-1，1]．
①若x∈[0，1]，且m＞0，由 f（x）=

mx

1+x

=m-

m

1+x

，故函數(shù)在[0，1]上是增函數(shù)，故函數(shù)f（x）在區(qū)間M=[-1，1]上是增函數(shù)，
故有f（-1）=-1，f（1）=1，即

-m

2

=-1，

m

2

=1，解得 m=2．
②若x∈[0，1]，且m＜0，由 f（x）=

mx

1+x

=m-

m

1+x

，故函數(shù)在[0，1]上是減函數(shù)，故函數(shù)f（x）在區(qū)間M=[-1，1]上是減函數(shù)，
故有f（-1）=1，f（1）=-1，即

-m

2

=1，

m

2

=-1，解得 m=-2．
③顯然，m=0不滿足條件．
綜上可得，m=±2，故使M=N成立的實數(shù)m的個數(shù)為2，
故選B．

點評：本題主要考查集合關(guān)系中參數(shù)的取值范圍問題，函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的應用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于基礎題．