Question

如圖所示，設(shè)點P(

3	p

，4)關(guān)于x軸的對稱點P′在曲線C：y=-

px

，(x＞0)上，
（I）求實數(shù)p的值；
（II）若A，B為曲線C上不同兩點，線段PP′恰好經(jīng)過△ABP的內(nèi)心，試問：曲線C在點P′處的切線m是否一定平行于直線AB？請給以證明．

Answer 1

分析：（I）利用點P(

3	p

，4)關(guān)于x軸的對稱點P′在曲線C：y=-

px

，(x＞0)上，建立方程，即可求得p的值；
（II）曲線C在點P′處的切線m一定平行于直線AB．設(shè)出直線方程，代入拋物線方程，求出直線AB的斜率，利用導數(shù)法，求出切線m的斜率，即可得到結(jié)論．

解答：解：（I）∵點P(

3	p

，4)關(guān)于x軸的對稱點P′在曲線C：y=-

px

，(x＞0)上，
∴-4=-

p 3 p

，∴p=8或p=-8
∵x＞0，px≥0，∴p=8；
（II）曲線C在點P′處的切線m一定平行于直線AB，證明如下：
設(shè)PA：y=k（x-2）+4，k≥2代入y=-

8x

，消去y可得k²x²+4（2k-k²-2）x+（4-2k）²=0
∴x=2或x=

2(k-2)2

k2

∴x_A=

2(k-2)2

k2

∵線段PP′恰好經(jīng)過△ABP的內(nèi)心，
∴k_PA=k_PB，∴用-k代換x，可得x_B=

2(k+2)2

k2

∴k_AB=

yA-yB

xA-xB

=-1
對y=-

8x

，求導得y′=-

2 x

，∴k_m=-1
∵直線AB與直線m不可能重合
∴曲線C在點P′處的切線m一定平行于直線AB．

點評：本題考查軌跡方程的確定，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．