Question

已知a＞0，b＞0，且a+b=1，求證：（a+

1

a

）（b+

1

b

）≥

25

4

．

Answer 1

分析：首先分析題目已知a＞0，b＞0，且a+b=1，求證：（a+

1

a

）（b+

1

b

）≥

25

4

．可以考慮用基本不等式求得ab≤

1

4

，直接展開左側，利用基本上的性質，求證(a+

1

a

)(b+

1

b

)-

25

4

≥0即可．

解答：解：因為已知a+b=1，a＞0，b＞0，
∴根據(jù)基本不等式a+b≥2

ab

，
∴0＜ab≤

1

4

，
又(a+

1

a

)(b+

1

b

)=

a2+1

a

?

b2+1

b

=

a2b2-2ab+2

ab

=

(1-ab)2+1

ab

≥

25

4

（取等號時a=b=

1

2

）
∴(a+

1

a

)(b+

1

b

)≥

25

4

即得(a+

1

a

)(b+

1

b

)≥

25

4

．

點評：此題主要考查不等式的證明問題，其中涉及到基本不等式的應用和比較法證明不等式的思想，涵蓋知識點少，有一定的計算量屬于中檔題目．