Question

（2013•閔行區一模）科學研究表明：一般情況下，在一節40分鐘的課中，學生的注意力隨教師講課的時間變化而變化．開始上課時，學生的注意力逐步增強，隨后學生的注意力開始分散．經過實驗分析，得出學生的注意力指數y隨時間x（分鐘）的變化規律為：y=f(x)=

2x+68，0≤x＜8 - 1 8 (x2-32x-480)，8≤x≤40

（1）如果學生的注意力指數不低于80，稱為“理想聽課狀態”，則在一節40分鐘的課中學生處于“理想聽課狀態”所持續的時間有多長？（精確到1分鐘）
（2）現有一道數學壓軸題，教師必須持續講解24分鐘，為了使效果更好，要求學生的注意力指數在這24分鐘內的最低值達到最大，那么，教師上課后從第幾分鐘開始講解這道題？（精確到1分鐘）

Answer 1

分析：（1）由學生的注意力指數y隨時間x（分鐘）的變化規律知：當0≤x＜8時，由y=2x+68≥80，當8≤x≤40時，y=-

1

8

（x²-32x-480）≥80，由此能夠推導出在一節40分鐘的課中學生處于“理想聽課狀態”所持續的時間．
（2）設教師上課后從第t分鐘開始講解這道題，由10+4

6

＜24，知t∈[0，6]，要學生的注意力指數最低值達到最大，只需f（t）=f（t+24），由此推導出教師上課后從第4分鐘開始講解這道題，能使學生的注意力指數最低值達到最大．

解答：解：（1）∵學生的注意力指數y隨時間x（分鐘）的變化規律為：
y=f(x)=

2x+68，0≤x＜8 - 1 8 (x2-32x-480)，8≤x≤40

，
∴當0≤x＜8時，由y=2x+68≥80，解得6≤x＜8．
當8≤x≤40時，由y=-

1

8

（x²-32x-480）≥80，
解得8≤x≤16+4

6

≈26．
∴在一節40分鐘的課中學生處于“理想聽課狀態”所持續的時間有26-6=20分鐘．
（2）設教師上課后從第t分鐘開始講解這道題，
∵10+4

6

＜24，∴t∈[0，6]，
要學生的注意力指數最低值達到最大，只需f（t）=f（t+24），
∴2t+68=-

1

8

[(t+24)2-32(t+24)-480]，
解得t=8

6

-16≈4．
∴教師上課后從第4分鐘開始講解這道題，能使學生的注意力指數最低值達到最大．

點評：本題考查函數在生產生活中的具體應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．