Question

已知圓x²+y²+4x+10y+4=0．
（1）證明點B（1，-1）在圓上，并求出過點B的圓的切線方程．
（2）證明點C（1，0）在圓外，并求出過點C的圓的切線方程．

Answer 1

分析：（1）把點B的橫坐標x=1代入圓的方程解得y=-1，得到B在圓上，先求出直線BM的斜率，根據切線與直線BM垂直斜率乘積為-1得到切線的斜率，即可得到切線方程；
（2）利用點到直線的距離CM大于半徑可得點在圓外，設出切線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑可得直線的斜率，即可得到切線方程．

解答：解：（1）因為1²+（-1）²+4×1+10×（-1）+4=0，
所以點B（1，-1）在圓上．
設圓心為M，所以k_BM=

-1-(-5)

1-(-2)

=

4

3

，所以過點B（1，-1）的圓的切線方程為y+1=-

3

4

（x-1）．所以3x+4y+1=0．
（2）因為|CM|=

(1+2)2+52

=

34

＞5=r（r為已知圓的半徑），所以點C（1，0）在圓外．
設過點C與圓M相切的直線的方程為y=k（x-1）（顯然斜率存在），即kx-y-k=0．因為圓與直線相切，所以半徑5=

|-2k+5-k|

1+k2

．所以k=0或k=-

15

8

．
所以切線方程為y=0或15x+8y-15=0．

點評：考查學生理解直線與圓相切即為圓心到直線距離等于半徑，會求過圓上和圓外點的切線方程．