Question

甲、乙兩人玩數字游戲，先由甲任想一個數字記為a，再由乙猜甲剛才想的數字，把乙想的數字記為b，且a，b∈{1，2，3，4，5，6}，記ξ=|a-b|．
（I）求ξ的分布列及期望；
（II）若ξ≤1，則稱“甲乙心有靈犀”，求“甲乙心有靈犀”的概率．

Answer 1

分析：（I）由題意知ξ可能取的值為0，1，2，3，4，5，當變量取值是0時，表示a和b取值相同，有6種情況，而所有事件有6×6種，根據古典概型的概率公式得到結果．
（2）變量小于等于1，表示變量取0或變量取1，這兩個事件是互斥事件，根據互斥事件的概率公式和前面做出的分布列，得到結果．

解答：解：（I）由題意知ξ可能取的值為0，1，2，3，4，5，
當變量取值是0時，表示a和b取值相同，有6種情況，而所有事件有6×6種，
根據古典概型的概率公式得到結果，
P(ξ=0)=

6

36

，
P(ξ=1)=

2×5

36

=

10

36

，
P(ξ=2)=

2×4

36

=

8

36

，
P(ξ=3)=

2×3

36

=

6

36

，
P(ξ=4)=

2×2

36

=

4

36

，P(ξ=5)=

2

36

∴ξ的分布列為

Eξ=

35

18

（II）變量小于等于1，表示變量取0或變量取1，
這兩個事件是互斥事件，根據互斥事件的概率公式和前面做出的分布列，得到結果，
P(ξ≤1)=P(ξ=0)+P(ξ=1)=

4

9

.

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和應用，本題這種類型是近幾年高考題中經常出現的，考查離散型隨機變量的分布列和期望，大型考試中理科考試必出的一道問題．