Question

11．如圖1，在邊長為1的等邊三角形ABC中，D，E分別是AB，AC上的點，AD=AE，F是BC的中點，AF與DE交于點G，△ABF沿AF折起，得到如圖2所示的三棱錐A-BCF，其中BC=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求證：平面DEG∥平面BCF；
（2）若D，E為AB，AC上的中點，H為BC中點，求異面直線AB與FH所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）運用面面平行的判定定理，可先證DG∥平面BCF，EG∥平面BCF，即可得到；
（2）連接EH，運用中位線定理可得異面直線AB與FH所成角即為∠FHE，再由直角三角形的性質和余弦定理，即可得到所求值．

解答 證明：（1）如題圖1，在等邊三角形ABC中，AB=AC，
∵AD=AE，∴$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，
∴DE∥BC，∴DG∥BF，
如題圖2，∵DG?平面BCF，
∴DG∥平面BCF，…（2分）
同理可證EG∥平面BCF，
∵DG∩EG=G，
∴平面DEG∥平面BCF…（4分）
解：（2）連EH，
∵EH是△CAB的中位線，
∴$EH∥AB，EH=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}$
∴異面直線AB與FH所成角即為∠FHE…（6分）
∵$在△BCF中BF=FC=\frac{1}{2}，BC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
∴△BFC為RT△，∴$FH=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，
又∵$FE=\frac{1}{2}$
∴cos∠FHE=$\frac{F{H}^{2}+E{H}^{2}-E{F}^{2}}{2FH•EH}$=$\frac{\frac{1}{4}+\frac{2}{16}-\frac{1}{4}}{2×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$…（8分）

點評 本題考查面面平行的證明和異面直線所成角的求法，注意運用線面平行的判定定理和平移法，考查空間想象能力和推理及計算能力，屬于中檔題．