Question

設a、b是兩個實數，集合A＝{(x，y)|y＝ax＋b，x∈Z}，B＝{(x，y)|y＝3x²＋15，x∈Z}，C＝{(x，y)|x²＋y²≤144}，討論是否存在實數a和b使得A∩B≠，(a，b)∈C同時成立．

Answer 1

答案：
解析：

思路分析：把A∩B≠轉化為方程組有解的問題． 　　解法一：由A∩B≠知方程組有解， 　　即方程3x2－ax＋15－b＝0有解． 　　∴Δ＝a2－4×3×(15－b)＝a2＋12b－180≥0．項基本原則　　① 　　由(a，b)∈C，得144≥a2＋b2．　　② 　　由①②得180－12b≤a2≤144－b2．　　③ 　　由③得(b－6)2≤0b＝6． 　　把b＝6代入③得108≤a2≤108， 　　∴a2＝108，即a＝±6． 　　把a＝±6，b＝6代入方程3x2－ax＋15－b＝0． 　　解得x＝±，這與x∈Z矛盾． 　　故不存在實數a、b滿足條件． 　　解法二：由A∩B≠知方程組有解， 　　即方程3x2－ax＋15－b＝0有解． 　　由(a，b)∈C，得144≥a2＋b2． 　　由 　　消去b，得到關于a的二次不等式 　　(1＋x2)a2－2x(3x2＋15)a＋[(3x2＋15)2－144]≤0．(*) 　　∵1＋x2＞0且Δ＝－36(x2－3)2＜0(∵x∈Z，∴x2≠3)，∴上述不等式(*)沒有實數解． 　　故滿足條件的a、b不存在．