Question

已知圓心為點C（2，1）的圓與直線3x+4y-35=0相切．
（1）求圓C的標準方程；
（2）對于圓C上的任一點P，是否存在定點A（不同于原點O）使得

|PA|

|PO|

恒為常數？若存在，求出點A的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用圓心為點C（2，1）的圓與直線3x+4y-35=0相切，根據點到直線的距離公式，求出圓的半徑，即可求圓C的標準方程；
（2）設P（x，y），定點A（m，n），（m，n不同時為0），根據

|PA|

|PO|

=λ（λ為常數），可得

(x-m)2+(y-n)2

x2+y2

=λ，進而整理可得（1-λ²）（20+4x+2y）-2mx-2ny+m²+n²=0，從而

4(1-λ2)=2m 2(1-λ2)=2n 20(1-λ2)=-m2-n2

，由此可得點A的坐標．

解答：解：（1）因為圓心為點C（2，1）的圓與直線3x+4y-35=0相切，
所以點C到直線3x+4y-35=0的距離為d=

|6+4-35|

32+42

=5=r，…（2分）
所以求圓C的標準方程為（x-2）²+（y-1）²=25．…（4分）
（2）設P（x，y），且（x-2）²+（y-1）²=25，即x²+y²=20+4x+2y
設定點A（m，n），（m，n不同時為0），

|PA|

|PO|

=λ（λ為常數）．
則

(x-m)2+(y-n)2

x2+y2

=λ…（6分）
兩邊平方，整理得（1-λ²）（x²+y²）-2mx-2ny+m²+n²=0
代入x²+y²=20+4x+2y后得（1-λ²）（20+4x+2y）-2mx-2ny+m²+n²=0恒成立
所以，

4(1-λ2)=2m 2(1-λ2)=2n 20(1-λ2)=-m2-n2

…（9分）
解得

m=-8 n=-4 λ= 5

即A（-8，-4）．…（10分）

點評：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查存在性問題，考查學生分析解決問題的能力，有難度．