Question

如圖，E、F分別為直角三角形ABC的直角邊AC和斜邊AB的中點，沿EF將△AEF折起到△A′EF的位置，連接A′B、A′C，P為A′C的中點．
（1）求證：EP∥平面A′FB；
（2）求證：平面A′EC⊥平面A′BC；
（3）求證：AA′⊥平面A′BC．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證EP∥平面A′FB關鍵在平面A′FB內找一直線與EP平行，由E、P分別為AC、A′C的中點，可得EP平行與面A′FB內一直線A′A；
（2）欲證平面A′EC⊥平面A′BC，即證BC⊥平面A′EC，根據面面垂直的判定定理可知一平面經過另一平面的垂線則這兩個面垂直；
（3）欲證AA′⊥平面A′BC，即證AA′垂直平面A′BC內兩條相交直線，易證A′A⊥A′C，BC⊥AA′．
解答：證明：（1）
∵E、P分別為AC、A′C的中點，
∴EP∥A′A，又A′A?平面AA′B，EP?平面AA′B
∴即EP∥平面A′FB；
（2）∵BC⊥AC，EF⊥A′E，EF∥BC
∴BC⊥A′E，而AE與EC相交∴BC⊥平面A′EC
BC?平面A′BC
∴平面A′BC⊥平面A′EC；
（3）在△A′EC中，P為A′C的中點，∴EP⊥A′C，
在△A′AC中，EP∥A′A，∴A′A⊥A′C
由（2）知：BC⊥平面A′EC又A′A?平面A′EC
∴BC⊥AA′
∴A′A⊥平面A′BC．
點評：本題主要考查了平面與平面之間的位置關系，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．