Question

設二次函數f（x）=ax²+bx+c，函數F（x）=f（x）-x的兩個零點為m，n（m＜n）．
（1）若m=-1，n=2，求不等式F（x）＞0的解集；
（2）若a＞0且0＜x＜m＜n＜

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a

，比較f（x）與m的大小．

Answer 1

分析：根據函數F（x）=f（x）-x的兩個零點為m，n，因此該函數解析式可表示為F（x）=a（x-m）（x-n），（1）m=-1，n=2時，對a＞0，或a＜0．進行討論，寫出不等式的解集即可；
（2）要比較f（x）與m的大小，做差，即有f（x）-m=a（x-m）（x-n）+x-m=（x-m）（ax-an+1），根據a＞0且0＜x＜m＜n＜

1

a

，分析各因式的符號，即可得到結論．

解答：解：（1）由題意知，F（x）=f（x）-x=a（x-m）（x-n）
當m=-1，n=2時，不等式F（x）＞0
即為a（x+1）（x-2）＞0．
當a＞0時，不等式F（x）＞0的解集為{x|x＜-1，或x＞2}；
當a＜0時，不等式F（x）＞0的解集為{x|-1＜x＜2}．
（2）f（x）-m=a（x-m）（x-n）+x-m=（x-m）（ax-an+1）
∵a＞0，且0＜x＜m＜n＜

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a

，0＜ax＜am＜an＜1；
∴x-m＜0，an＜1，∴1-an+ax＞0
∴f（x）-m＜0，即f（x）＜m．

點評：此題是中檔題．考查二次函數的兩根式，以及不等式比較大小等基礎知識和方法，考查學生靈活應用知識分析解決問題的能力．