Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知點A(－，0)，B(，0)，直線MA，MB交于點M，它們的斜率之積為常數m(m≠0)，且△MAB的面積最大值為，設動點M的軌跡為曲線E.

(1)求曲線E的方程；

(2)過曲線E外一點Q作E的兩條切線l1，l2，若它們的斜率之積為－1，那么·是否為定值？若是，請求出該值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)見解析.

【解析】試題分析: (1) 設出點M的坐標,根據直線MA，MB的斜率之積為常數m(m≠0)，列出方程,去掉不合題意的點,再根據m的正負討論曲線的類型,檢驗是否滿足△MAB的面積最大值為;(2)設出點Q的坐標,寫出過Q的切線方程與橢圓聯立,消去y,得到關于x的一元二次方程,根據Δ＝0列出關于k的一元二次方程,再由切線的斜率之積為－1,化簡得出Q的軌跡方程,代入求值即可.

試題解析:(1)設M(x，y)，則由已知得

·＝m，即y2＝m(x2－3)，

即－＝1(x≠±).(*)

①當m>0時，方程(*)表示雙曲線，此時△MAB面積不存在最大值(不符合)；

②當m＝－1時，方程(*)表示圓，此時△MAB的面積最大值為3(不符合)；

③當m<0且m≠－1時，方程(*)為橢圓，此時△MAB的面積最大值為，所以m＝－.

此時所求的方程為.

(2)設Q(x0，y0)，過點Q的切線l為y＝k(x－x0)＋y0，

由消去y得

(1＋3k2)x2＋6k(y0－kx0)x＋3(y0－kx0)2－3＝0，

則Δ＝36k2(y0－kx0)2－4(1＋3k2)·3[(y－kx0)2－1]＝0，

化簡得(3－x)k2＋2x0y0k＋1－y＝0，

于是k1·k2＝.由已知斜率之積為－1，

則＝－1，則x＋y＝4(x0≠±)，

所以·＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝x－3＋y＝1.

點睛:第一問根據題中等式列出方程,判斷m取值不同時, △MAB的面積最大值與題中條件是否符合,即可得出m值以及橢圓的方程,并挖去不合題意的點;第二問設出Q點坐標,列出過Q的切線方程,與橢圓方程聯立,得出關于切線斜率的方程,求出斜率之積的表達式,得出Q點滿足的方程,代入即可求出定值.