Question

橢圓C的中心為坐標原點O，焦點在x軸上，離心率e=

3

2

，且橢圓過點（2，0）．
（1）求橢圓方程；
（2）求圓x²+（y-2）²=

1

4

上的點到橢圓C上點的距離的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：a=2，因為離心率e=

c

a

=

3

2

，所以c=

3

，進而得到橢圓的方程．
（2）根據題意可得：橢圓的參數方程為

x=2sinθ y=cosθ

，（θ∈R），可得橢圓上的一點與圓心的距離d=

-3cos2θ-4cosθ+8

，結合二次函數的有關性質求出d的范圍，進而根據圓的性質得到答案．

解答：解：（1）因為橢圓C的中心為坐標原點O，焦點在x軸上，且橢圓過點（2，0），
所以a=2，
又因為離心率e=

c

a

=

3

2

，
所以c=

3

，
所以b=1．
則橢圓的標準方程為

x2

4

+y2 =1．
（2）因為橢圓 的方程為

x2

4

+y2 =1，
所以橢圓的參數方程為

x=2sinθ y=cosθ

，（θ∈R），
設點P為橢圓上的一點，所以可得P（2sinθ，cosθ），
所以點P到圓x²+（y-2）²=

1

4

的圓心的距離d=

-3cos2θ-4cosθ+8

，
因為cosθ∈[-1，1]，所以根據二次函數的性質可得：d∈[1，

2 21

3

]，
所以根據圓的性質可得：圓上的點到橢圓C上點的距離的最小值為d-r=1-

1

2

=

1

2

；圓上的點到橢圓C上點的距離的最大值為d+r=

2 21

3

+

1

2

．

點評：本題主要考查橢圓的標準方程與性質，以及圓與圓錐曲線的位置關系；解決此類問題的關鍵是熟練掌握橢圓方程中a，b，c之間的關系，以及圓的有關性質，此題是一道綜合性較強的題，屬于中檔題．