Question

已知方程x²sinθ+y²=sin2θ表示焦點在y軸上的雙曲線，則點P（cosθ，sinθ）在（　　）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

Answer 1

分析：將雙曲線化成焦點在y軸上的雙曲線的標準形式：

y2

a2

-

x2

b2

=1，可得a²=sin2θ＞0，b²=

sin2θ

-sinθ

＞0，再結(jié)合二倍角的正弦公式，得到sinθ＜0且cosθ＜0，因此得到P（cosθ，sinθ）第三象限，可得正確選項．

解答：解：∵方程x²sinθ+y²=sin2θ表示焦點在y軸上的雙曲線
∴原方程化為標準形式：

y2

sin2θ

-

x2

sin2θ -sinθ

=1
∵sin2θ=2sinθcosθ
∴原方程的標準形式可化簡為：

y2

sin2θ

-

x2

-2cosθ

=1
∴

sin2θ=2sinθcosθ＞0 -2cosθ＞0

⇒

sinθcosθ＞0 cosθ＜0

∴sinθ＜0且cosθ＜0，
因此P（cosθ，sinθ）第三象限
故選C

點評：本題借助于雙曲線的標準方程為載體，著重考查了雙曲線的基本概念、三角函數(shù)的符號和二倍角的三角函數(shù)公式，屬于基礎(chǔ)題．